首先，根号3可以改写为3的平方根。我们可以利用佩利—恩定理（莫比乌斯反演公式）来计算3的平方根，公式如下：
$$\sqrt{3} = \frac {6}{\pi ^{2}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac {(-1)^{i}}{3^{i}(2i 1)}$$
虽然这看起来很复杂，但事实上，这个公式可以直接粘贴到网上的数学公式计算器中，就可以得到一个十分精确的答案。但是如果我们想要通过手算来获得3的平方根，该怎么办呢？
以下是其中的一种途径：
假设已经有了一个近似值x，那么可以用迭代算法计算出更加精确的值。通过对迭代式的变形，我们可以得到如下的公式：
$$x_{n 1}=\frac{1}{2}(x_{n} \frac{3}{x_{n}})$$
其中，x0可以从任意一个值开始，比如我们可以取x0=1。将公式代入计算机程序或者手算中，每一次得到的近似值会非常接近于3的平方根。可以通过多次迭代，逐渐提高计算的精度，直到达到所需的精确度为止。
同样，我们可以通过这种方式来计算出根号2、根号5等无理数的值。不过，需要注意的是，在手算过程中，我们需要时刻保证每一个计算的步骤都具备一定的精确度，否则计算结果会出现较大的误差。
